1. PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
A. Pangkat Rasional
1) Pangkat negatif dan nol
Misalkan a R dan a 0, maka:
a) a-n = atau an =
b) a0 = 1
2) Sifat-Sifat Pangkat
Jika a dan b bilangan real serta n, p, q bilangan bulat positif, maka berlaku:
⦁ ap × aq = ap+q
⦁ ap : aq = ap-q
⦁ = apq
⦁ = an×bn
2. FUNGSI KUADRAT
A. Persamaan Kuadrat
⦁ Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0, a 0
⦁ Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b2 – 4ac
⦁ Akar–akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:
⦁ Pengaruh determinan terhadap sifat akar:
⦁ Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda
⦁ Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional
⦁ Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar)
⦁ Jumlah, selisih dan hasil kali akar–akar persaman kuadrat
Jika x1, dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:
a) Jumlah akar–akar persamaan kuadrat :
b) Selisih akar–akar persamaan kuadrat : , x1 > x2
c) Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat :
d) Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar–akar persamaan kuadrat
a. =
b. =
Catatan:
Jika koefisien a dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, bernilai 1, maka
⦁ x1 + x2 = – b
⦁
⦁ x1 · x2 = c
3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
⦁ Bentuk umum :
⦁ Dapat diselesaikan dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan determinan.
⦁ Metode determinan:
D = = a1b2 – a2b2;
Dx = ; Dy = ;
x = ; y =
B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
⦁ Bentuk umum :
⦁ Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi bertingkat dan determinan.
⦁ Metode determinan:
D = = = (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) –
(a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
Dx = ; Dy = ; Dz = ;
x = ; y = ; z =
. TRIGONOMETRI I
A. Trigonometri Dasar
⦁ sin =
⦁ cos =
⦁ tan =
B. Perbandingan trigonometri sudut Istimewa (30º, 45º, 60º)
Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa dapat dicari dengan menggunakan segitiga siku-siku istimewa (gambar. 1 dan gambar.2)
º sin cos tan
gambar 1 gambar 2
30 ½ ½
45 ½ ½ 1
60 ½ ½
C. Perbandingan Trigonometri sudut berelasi
Perbandingan trigonometri sudut berelasi dapat dicari dengan menggunakan bantuan lingkaran satuan seperti pada gambar
1. Sudut berelasi (90º – )
⦁ sin(90º – ) = cos
⦁ cos(90º – ) = sin
⦁ tan(90º – ) = cot
2. Sudut berelasi (180º – )
⦁ sin(180º – ) = sin
⦁ cos(180º – ) = – cos
⦁ tan(180º – ) = – tan
3. Sudut berelasi (270º – )
⦁ sin(270º – ) = – cos
⦁ cos(270º – ) = – sin
⦁ tan(270º – ) = cot
4. Sudut berelasi (– )
⦁ sin(– ) = – sin
⦁ cos(– ) = cos
⦁ tan(– ) = – tan
gambar 3
6. LOGIKA MATEMATIKA
A. Negasi (Ingkaran)
Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p
p ~ p
B S
S B
B. Operator Logika
⦁ Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”.
p q : p dan q
⦁ Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”.
p q : p atau q
⦁ Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …”.
p q : Jika p maka q
⦁ Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …”
p q : p jika dan hanya jika q
C. Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi
premis 1 premis 2 konjungsi disjungsi implikasi biimplikasi
P q P q p q p q p q
B B B B B B
B S S B S S
S B S B B S
S S S S B B
Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal
1) Konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar,
2) Disjungsi akan bernilai salah (S), jika kedua premis salah
3) Implikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S)
4) Biimimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar
D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Bila terdapat bentuk implikasi p q, maka diperoleh tiga pengembangannya sebagai berikut:
Implikasi Invers Konvers Kontraposisi
p q ~ p ~ q q p ~ q ~ p
Kesimpulan yang dapat diambil adalah:
1) invers adalah negasi dari implikasi
2) konvers adalah kebalikan dari implikasi
3) kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi
E. Pernyataan-Pernyataan yang Equivalen
⦁ implikasi kontraposisi : p q ~ q ~ p
⦁ konvers invers : q p ~ p ~ q
⦁ ~(p q) ~ p ~ q : ingkaran dari konjungsi
⦁ ~(p q) ~ p ~ q : ingkaran dari disjungsi
⦁ ~(p q) p ~ q : ingkaran dari implikasi
⦁ p q ~ p q
⦁ ~(p q) (p ~ q) (q ~ p) : ingkaran dari biimplikasi
F. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
⦁ Kuantor Universal adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya “x” dibaca “untuk semua nilai x”
⦁ Kuantor Eksistensial adalah suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya “x” dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x”
⦁ Ingkaran dari pernyataan berkuantor
⦁ ~(x) (~x)
⦁ ~(x) (~x)
G. Penarikan Kesimpulan
Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu:
1) Modus Ponens 2) Modus Tollens 3) Silogisme
(MP) (MT)
p q : premis 1 p q : premis 1 p q : premis 1
p : premis 2 ~q : premis 2 q r : premis 2
q : kesimpulan ~p : kesimpulan p r : kesimpulan
6. LOGIKA MATEMATIKA
A. Negasi (Ingkaran)
Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p
p ~ p
B S
S B
B. Operator Logika
⦁ Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”.
p q : p dan q
⦁ Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”.
p q : p atau q
⦁ Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …”.
p q : Jika p maka q
⦁ Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …”
p q : p jika dan hanya jika q
C. Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi
premis 1 premis 2 konjungsi disjungsi implikasi biimplikasi
P q P q p q p q p q
B B B B B B
B S S B S S
S B S B B S
S S S S B B
Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal
1) Konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar,
2) Disjungsi akan bernilai salah (S), jika kedua premis salah
3) Implikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S)
4) Biimimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar
D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Bila terdapat bentuk implikasi p q, maka diperoleh tiga pengembangannya sebagai berikut:
Implikasi Invers Konvers Kontraposisi
p q ~ p ~ q q p ~ q ~ p
Kesimpulan yang dapat diambil adalah:
1) invers adalah negasi dari implikasi
2) konvers adalah kebalikan dari implikasi
3) kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi
E. Pernyataan-Pernyataan yang Equivalen
⦁ implikasi kontraposisi : p q ~ q ~ p
⦁ konvers invers : q p ~ p ~ q
⦁ ~(p q) ~ p ~ q : ingkaran dari konjungsi
⦁ ~(p q) ~ p ~ q : ingkaran dari disjungsi
⦁ ~(p q) p ~ q : ingkaran dari implikasi
⦁ p q ~ p q
⦁ ~(p q) (p ~ q) (q ~ p) : ingkaran dari biimplikasi
F. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
⦁ Kuantor Universal adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya “x” dibaca “untuk semua nilai x”
⦁ Kuantor Eksistensial adalah suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya “x” dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x”
⦁ Ingkaran dari pernyataan berkuantor
⦁ ~(x) (~x)
⦁ ~(x) (~x)
G. Penarikan Kesimpulan
Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu:
1) Modus Ponens 2) Modus Tollens 3) Silogisme
(MP) (MT)
p q : premis 1 p q : premis 1 p q : premis 1
p : premis 2 ~q : premis 2 q r : premis 2
q : kesimpulan ~p : kesimpulan p r : kesimpulan
Tidak ada komentar:
Posting Komentar